الموضوع النموذجي 3 · رياضيات التقني
على نمط امتحان شهادة ختم التعليم الأساسي التقني: الحصّة ساعة واحدة، الضارب 1، 3 تمارين على 20. المحاور: العدد الذهبي وهيكل سقف.
التمرين 1: صواب أو خطأ وأسئلة متعدّدة الاختيارات
6 نقاطI) أجب في كلّ مرّة بـ«صواب» أو «خطأ» دون تعليل الإجابة. أنقل، على ورقة تحريرك، رقم السؤال والإجابة الموافقة له.
- √(9 + 16) = 3 + 4.
- 0,0005 = 5 × 10⁻⁴.
- لكلّ عدد حقيقيّ x: (x − 3)² = x² − 9.
II) لكلّ سؤال من الأسئلة التالية ثلاث إجابات مقترحة، إحداها فقط صحيحة. أنقل، على ورقة تحريرك، رقم السؤال والإجابة الصحيحة الموافقة له.
- العدد 1/(√2 + 1) يساوي:أ) √2 + 1ب) 1 − √2ج) √2 − 1
- كيس يحتوي على 3 كرات حمراء و 5 كرات زرقاء متماثلة لا نفرّق بينها باللمس. نسحب عشوائيًّا كرة واحدة. احتمال أن تكون حمراء هو:أ) 3/8ب) 3/5ج) 5/8
- حجم هرم قاعدته مربّع طول ضلعه 6 cm وارتفاعه 5 cm هو:أ) 180 cm³ب) 90 cm³ج) 60 cm³
عناصر الإجابة
- I. 1) √(9 + 16) = √25 = 5 و 3 + 4 = 7: خطأ. 2) 5 × 10⁻⁴ = 5 × 0,0001 = 0,0005: صواب. 3) (x − 3)² = x² − 6x + 9 (مثلًا من أجل x = 1 نجد 4 و −8): خطأ.
- II. 1) (√2 + 1)(√2 − 1) = 2 − 1 = 1 إذن 1/(√2 + 1) = √2 − 1: (ج). 2) 3 حالات ملائمة من 8 حالات ممكنة: 3/8: (أ).
- II. 3) V = (6² × 5)/3 = 180/3 = 60 cm³: (ج).
التمرين 2: عددان مقلوبان: العدد الذهبي
7 نقاطنعتبر العددين الحقيقيّين a = (√20 + 2)/4 و b = (√5 − 1)/2.
- أ) تحقّق أنّ √20 = 2√5.
ب) استنتج أنّ a = (√5 + 1)/2. - تحقّق أنّ b = a − 1.
- أ) أحسب a × b.
ب) استنتج أنّ a و b مقلوبان. - أ) استنتج من السؤالين 2) و 3) أنّ a² = a + 1.
ب) أحسب a² ثمّ تحقّق من النتيجة السابقة.
عناصر الإجابة
- 1) أ) √20 = √(4 × 5) = 2√5. ب) a = (2√5 + 2)/4 = 2(√5 + 1)/4 = (√5 + 1)/2.
- 2) a − 1 = (√5 + 1)/2 − 2/2 = (√5 − 1)/2 = b.
- 3) أ) a × b = (√5 + 1)(√5 − 1)/4 = (5 − 1)/4 = 1. ب) جذاؤهما 1 إذن a و b مقلوبان.
- 4) أ) a × b = 1 و b = a − 1 إذن a(a − 1) = 1 أي a² − a = 1 ومنه a² = a + 1. ب) a² = (5 + 2√5 + 1)/4 = (6 + 2√5)/4 = (3 + √5)/2، و a + 1 = (√5 + 1)/2 + 2/2 = (3 + √5)/2: النتيجة صحيحة.
التمرين 3: بيتاغور وطالس: هيكل سقف
7 نقاطيصنع نجّار هيكلًا خشبيًّا لسقف مستودع. يمثّل الرسم المقابل تصميمًا لهذا الهيكل وفق السلّم 1/50 (وحدة قيس الطول هي الصنتمتر cm).
المعطيات: ABC مثلث متقايس الضلعين قمّته الرئيسيّة A، حيث AB = AC = 10 و BC = 16. H منتصف [BC]. M نقطة من [AB] حيث AM = 4، والمستقيم الموازي لـ (BC) والمارّ من M يقطع [AC] في N.
- أ) فسّر لماذا (AH) ⊥ (BC).
ب) بيّن أنّ AH = 6. - أ) فسّر لماذا AM/AB = MN/BC.
ب) استنتج أنّ MN = 6,4. - أ) أوجد بالمتر العرض الحقيقي BC للهيكل وارتفاعه الحقيقي AH.
ب) يتكوّن الهيكل من القطع الخشبيّة [AB] و [AC] و [BC] و [AH] و [MN]. أوجد بالمتر الطول الجملي الحقيقي لهذه القطع.
عناصر الإجابة
- 1) أ) المثلث ABC متقايس الضلعين قمّته A و H منتصف [BC]، فالموسط [AH] هو أيضًا ارتفاع: (AH) ⊥ (BC). ب) BH = 16/2 = 8 والمثلث ABH قائم في H، فحسب بيتاغور AH² = AB² − BH² = 100 − 64 = 36 و AH = 6.
- 2) أ) في المثلث ABC: M ∈ [AB] و N ∈ [AC] و (MN) // (BC)، فحسب نظرية طالس AM/AB = AN/AC = MN/BC. ب) MN = 16 × 4/10 = 6,4.
- 3) أ) BC = 16 × 50 = 800 cm = 8 m و AH = 6 × 50 = 300 cm = 3 m. ب) في التصميم: 10 + 10 + 16 + 6 + 6,4 = 48,4 cm، والطول الحقيقي 48,4 × 50 = 2420 cm = 24,2 m.
موضوع وعناصر إجابة من إعداد سكولار، ليس موضوعًا رسميًا. تُقبل كلّ طريقة صحيحة أخرى.
راجع الدروس المعنيّة
لكلّ درس شرح وأمثلة محلولة و6 تمارين مصحّحة.
كيف ترافقون طفلكم في موضوع الرياضيات
- نظّموا معه وقت الموضوع كما في يوم الامتحان، وشجّعوه على البدء بالتمرين الذي يرتاح إليه أكثر.
- ذكّروه بأنّ تحرير الحلّ مهمّ مثل النتيجة: الخاصّيات المستعملة والمراحل مكتوبة بوضوح.
- في الهندسة: اطلبوا منه رسمًا دقيقًا بالأدوات وتسجيل المعطيات عليه قبل البرهنة.
- لا تعطوه الحلّ عند التعثّر؛ اسألوه عن الدرس أو الخاصّية التي قد تفيد، ودعوه يعيد المحاولة.
- شجّعوه على التحقّق من النتائج (التعويض في المعادلة، معقولية القيس).
بعد أن ينجز طفلكم الموضوع، اسألوه:
- «ما الخاصّية أو القاعدة التي استعملتها في هذا السؤال؟»
- «هل تحقّقت من نتيجتك؟ كيف؟»
- «ماذا ستراجع قبل الموضوع القادم؟»
مقالات أخرى في نصائح للأولياء.